이쁜왕자 만쉐~~

문제1) 임의의 서로 다른 두 무리수 a < b 가 존재하여, a < c < b를 만족하는 유리수 c가 반드시 존재하는가? 너무나 당연해 보이지만, 막상 증명해 보려면 으음? 하고 고개가 갸우뚱했던 문제이죠. 두 수 a, b 를 각각 십진 소수 전개를 하면, 두 수는 서로 다르므로, 자리값이 다른 자리수가 반드시 나옵니다. 예를 들어 a = 0.12345678812.... b = 0.12345678912.... 라고 할때, c 를 다음과 같이 정의 합니다. c : "b 에서 a 와 서로 다른 자리값이 나온 곳에서 자른 수" 위의 예제에서는 c = 0.123456789 c 는 유한소수 이므로 당연히 유리수입니다. 또한 당연하게 a < c < b 입니다. 문제 2) 임의의 서로 다른 두 유리수 a' < b'..

a^c = b 를 만족할때 log_a (b) = c 또는 log(a,b) = c 라고 표현된다.  특히 a = e 일때를 자연로그 (보통 ln 으로 표기), a = 10 일때를 상용로그 (보통 lg 로 표기), a = 2 일때를 이진로그 (보통 lb 로 표기) 하여 구분한다고 하는데, ln 말고는 잘 안쓰인다.   그리고, 고등학교 교과과정에서는 로그에 대해서 a 는 1 이 아닌 0 보다 큰 실수, b 는 0 보다 큰 실수로 한정한다.  이렇게 범위를 한정하는 이유는, 저 조건을 만족해야 실수 범위 내에서 정의되기 때문이다. 하지만, 수학의 세계는 넓고도 오묘해서 log 를 음수뿐만 아니라 복소수 범위로 확장해서 적용하는 것이 가능하다.(주1: 이 글에서는 편의상 밑이 표기 안된 log 는 자연로그 ln..

예를 들어 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3, ... 이 반복되는 수열이 있다고 치자. 이를 수식으로 나타내면 이렇게 된다. 그런데, 이렇게 각각을 분류해서 나타내는 걸 원하지 않고, 하나의 식으로 나타내길 원하는 사람이 있기 마련이다. 이럴때는 주기가 있는 함수를 사용하여 조합하면 가능하다. 예를 들어 (-1)^n 은 2의 주기로 1과 -1을 반복하므로, 이를 살짝 변형하여 ((-1)^n + 1) / 2 라는 식을 만들면, 0 과 1을 반복하는 식이 된다. 아니면 전통적인 주기함수인 삼각함수를 이용해도 된다. sin(x) 는 2*pi 를 주기로 0, 1, 0, -1 이 반복되므로, 이 식을 살짝 변형하여 | sin(x*pi/2) | 라는 식을 만들면 1과 0 이 반복되는 식을 만들수 있다. 다..

Q1. 등대 20개가 무한평면바다 위에 있고, 각 등대는 18도 만큼의 빛을 비추는 각도를 가진다. 이 때 임의의 등대 위치에 대해서 등대가 빛을 비추는 방향을 잘 조절하면, 바다 모든 곳에 빛이 닿게 할 수 있음을 보여라. http://todayhumor.co.kr/board/view.php?table=science&no=12799 오유에 RGB 님이 낸 문제 사족 추가) - 등대는 점으로 간주하며, 그림자는 무시한다. - 등대의 빛의 도달하는 거리는 무한하다. 18도*20 = 360도 이므로, 방향을 잘 맞추면 가능할 것으로 보인다. 문제의 이해를 쉽게 하기 위해서 문제를 극단적으로 간결화 시켜 보자. Q2. 등대 2개가 있고, 각 등대는 180도를 비춘다. 간단히 등대가 서로 향해서 빛을 비추면 된..

작은 수에서는 비교적 쉽게 문제의 답을 구할 수 있는데, 큰 수에서는 존재하지 않는 것으로 보이거나, 존재하지 않음이 증명된 문제들. 물론 문제가 이해하기 쉬어야 함. 1. 카탈란 추측 (미허일레스쿠 정리) 미허일레스쿠 가 증명하여, 미허일레스쿠 정리 라고도 함. http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%ED%97%88%EC%9D%BC%EB%A0%88%EC%8A%A4%EC%BF%A0_%EC%A0%95%EB%A6%AC x^n - y^m = 1 을 만족하는 1보다 큰 정수 x,y,n,m 은 3^2 - 2^3 = 1 만 존재함. (증명됨) 2. Brocard's Problem http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem n! + 1 = m..

skykim 님의 글을 보고, 후다닥 만든 문제, ................... 주어진 수 n 에 대해서 적당한 소수 p와 양의정수 k (k>=1) 가 존재하여, n = 1 + p^1 + p^2 + ... +p^k 으로 표현할 수 있는 경우가 존재합니다. 예를들어 3 = 1+2 가 되고, 7 = 1+2+4 가 됩니다. 그리고, 이렇게 표현되지 않는 수도 당연히 존재합니다. 2,5,9 등은 이러한 방식으로 표현이 불가능합니다. 그리고, 어떤 수는 이런 표현 방법이 2가지 이상 존재하는 경우도 있습니다. 예를 들어 31은 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 = 1 + 5 + 25 이라는 2가지 표현방법이 존재합니다. 그럼 문제. 31처럼 2가지 표현방법이 존재하는 다른 수를 찾아 보세요. ..